Question

已知f(x)=

ax2+x

2x2+b

（a，b為常數）為奇函數，且過點(1，

1

3

)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數數列{an}，a1=

1

2

，

a

2 n+1

=2anf(an)(n∈N*)，證明：數列{

1

a 2 n

-2}是等比數列；
（3）令bn=

1

a 2 n

-2，Sn為{bn}的前n項和，求使Sn＞

31

8

成立的最小n值．

Answer 1

分析：（1）根據函數為奇函數和過點(1，

1

3

)，求出a，b，確定出f（x）的解析式．
（2）

a

n+1 2

=2anf(n)=2an

an

2 a n 2 +1

=

2 a n 2

2 a n 2 +1

，化簡可得數列{

1

a 2 n

-2}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列．
（3）b_n為等比數列，根據等比數列的求和公式求出S_n，解出不等式中n的范圍，從而確定n的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

ax2+x

2x2+b

為奇函數，∴f（-x）=

a(-x)2-x

2(-x)2+bx

=

ax2-x

2x2+b

=-

ax2+x

2x2+b

=-f（x），
∴a=0；
又f（x）過點（1，

1

3

），∴f（1）=

x

2x2+b

=

1

2+b

=

1

3

，∴b=1．∴f（x）=

x

2x2+ 1

（2）∵

a

2 n+1

=2anf(n)=2an

an

2 a 2 n +1

=

2 a 2 n

2 a 2 n +1

∴

1

a 2 n+1

=1+

1

2 a 2 n

，，
∴

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)∴數列{

1

a 2 n

-2}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列．
（3）∵bn=

1

a n 2

-2， a1=

1

2

∴Sn=

2[1-( 1 2 )2]

1- 1 2

=4[1-(

1

2

)2]
又Sn＞

31

8

，即4[1-(

1

2

)2]＞

31

8

∴n＞5
∴滿足Sn＞

31

8

的最小為6．

點評：本題是數列與函數的綜合題，考查了等比數列的證明，等比數列的求和，以及不等式的解法，綜合性比較強，應該靈活掌握．