Question

設平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．若存在實數m（m≠0）和角θ(θ∈(-

π

2

，

π

2

))，使向量

c

=

a

+（tan²θ-3）

b

，

d

=-m

a

+

b

tanθ，且

c

⊥

d

．
（I）求函數m=f（θ）的關系式；  
（II）令t=tanθ，求函數m=g（t）的極值．

Answer 1

分析：（I）根據向量

a

、

b

的坐標算出向量

c

、

d

的坐標，由

c

⊥

d

得

c

與

d

的數量積為0，由此建立關于m和θ的關系式，化簡整理既得函數m=f（θ）的關系式；
（II）設tanθ=t，由（I）得m是關于t的三次多項式函數，求出導數并討論導數的正負，可得當t＜-1或t＞1時導數為正數，當-1＜t＜1時導數為負數，由此即可得到函數的極大值、極小值，以及相應的θ值．

解答：解：（I）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴向量

c

=（

3

+

1

2

（tan²θ-3），-1+

3

2

（tan²θ-3））=（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

，

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）
向量

d

=（-

3

m+

1

2

tanθ，m+

3

2

tanθ）
∵且

c

⊥

d

，
∴

c

•

d

=0，即（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

）（-

3

m+

1

2

tanθ）+（

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）（m+

3

2

tanθ）=0
化簡整理，得m=

1

4

(tan3θ-3tanθ)(-

π

2

＜θ＜

π

2

)，即為函數m=f（θ）的關系式．
（II）設tanθ=t，得m=g(t)=

1

4

(t3-3t)，t∈R
求導得m′=g′(t)=

3

4

(t2-1)，令g'（t）=0，得t₁=-1，t₂=1
當t∈（-∞，-1），g'（t）＞0，g（t）為增函數；當t∈（-1，1）時，g'（t）＜0，g（t）為減函數；
當t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，g（t）為增函數．
所以當t=-1，即θ=-

π

4

時，m=g（t）有極大值

1

2

；當t=1，即θ=

π

4

時，m=g（t）有極小值-

1

2

．

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標形式，求參數m關于θ的函數關系式，并求函數的極值，著重考查了向量數量積運算和運用導數研究函數的單調性與極值等知識，屬于中檔題．