Question

已知點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線上，點A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對于任意n∈N^*，點A_n，B_n，A_n+1構成以∠B_n為頂角的等腰三角形，設△A_nB_nA_n+1的面積為S_n，
（1）證明：數列{y_n}是等差數列；
（2）求S_2n-1（用a和n的代數式表示）；
（3）設數列前n項和為T_n，判斷T_n與（n∈N^*）的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數列的函數特性，要證明數列{y_n}是等差數列，我們可以根據已知點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線上，進而給出數列{y_n}的通項公式，利用通項公式法證明．
（2）由已知易得，進一步可以證明數列{x_n}所有的奇數項成等差數列，所有的偶數項也成等差數列，由等差數列的性質易得A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），結合（1）的結論和三角形面積公式，即可給出S_2n-1的表達式．
（3）由（2）的結論，易給出數列前n項和為T_n的表達式，利用裂項求和法，化簡T_n的表達式再與進行比較，即可得到結論．
解答：解：（1）由于點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線上，
則，
因此，所以數列{y_n}是等差數列；
（2）由已知有，那么x_n+x_n+1=2n，同理x_n+1+x_n+2=2（n+1），
以上兩式相減，得x_n+2-x_n=2，
∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，成等差數列；x₂，x₄，x₆，…，x_2n，也成等差數列，
∴x_2n-1=x₁+（n-1）×2=2n+a-2，x_2n=x₂+（n-1）×2=（2-a）+（n-1）×2=2n-a，
點A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），
則|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，
而，
∴；
（3）由（2）得：，
則
而S_2nS_2n-1＞0，則，
即
∴
∴
∴
由于，
而，
則，從而，
同理：

以上n+1個不等式相加得：
即，
從而．
點評：要判斷一個數列是否為等差（比）數列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數列連續兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數）型函數；④前n項和公式法．