Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分）別為AB，CD的中點，AE的延長線交CB于F．現將△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，連接AF．
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面CBD；
（Ⅱ）當AC⊥BD時，求二面角A-CD-B大小的余弦值．

Answer 1

分析：（I）欲證平面AEF⊥平面CBD，根據面面垂直的判定定理可知在平面CDB內一直線與平面AEF垂直，根據翻折前后有些垂直關系不變AE⊥CD，EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE?平面AED，EF?平面AEF，滿足線面垂直的判定定理，則CD⊥平面AEF，又CD?平面CDB，滿足定理所需條件；
（II）先作出二面角的平面角，過點A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線，連接CH并延長交BD的延長線于G，根據二面角平面角的定義可知∠AEF即為所求二面角的平面角，在三角形AEF中求出此角即可求出所求．

解答：解：
（I）證明：在Rt△ABC中，D為AB的中點，得AD=CD=DB，
又∠B=30°，得△ACD是正三角形，
又E是CD的中點，得AF⊥CD．（3分）
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AED，EF?平面AEF，
故CD⊥平面AEF，（6分）
又CD?平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD．（7分）
（II）過點A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線，
因為CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，
所以AH⊥平面CBD．（9分）
連接CH并延長交BD的延長線于G，
由已知AC⊥BD，得CH⊥BD，可得BD垂直于面AHC，從而得到BD垂直于線CG
可得∠CGB=90°，
因此△CEH∽△CGD，
則

EH

DG

=

CE

CG

，
設AC=a，易得
∠GDC=60°，DG=

a

2

，CE=

a

2

，CG=

3 a

2

，
代入上式得EH=

3 a

6

，
又EA=

3 a

2

故cos∠HEA=

EH

EA

=

1

3

．（12分）
又∵AE⊥CD，EF⊥CD，
∴∠AEF即為所求二面角的平面角，（13分）
故二面角A-CD-B大小的余弦值為-

1

3

．（14分）

點評：本題主要考查了面面垂直的判定，以及二面角平面角的度量，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．