Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系分類(lèi)求解；（2）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)及分類(lèi)整合思想分析求解：

（1），

（ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，所以，即.

恒成立與恒成立等價(jià)，

令，即，則，

①當(dāng)時(shí)， （或令，則在上遞增，∴，∴在上遞增，∴，∴）

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，

∴恒成立，

②當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

又， ，

∴存在，使得，故當(dāng)時(shí)， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴，

即， 不恒成立，

綜上所述， 的取值范圍是.