Question

過拋物線y²＝2px(p＞0)的對稱軸上的定點M(m，0)(m＞0)，作直線AB與拋物線相交于A，B兩點．

(1)試證明：A，B兩點的縱坐標之積為定值；

(2)若點N是定直線l：x＝－m上的任一點，試探索三條直線AN，MN，BN的斜率之間的關系，并給出證明．

探究：本題第一問，涉及直線與拋物線的交點問題，求證的是這兩個交點的縱坐標間的關系，不難想到聯立直線與拋物線方程消去x，從而達到目的；對于第二問，容易想到將這三條直線的斜率，從而得到結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)有y1·y2＝－2pm，下證之： 　　設直線AB的方程為：x＝ty＋m與y2＝2px聯立得y2＝2pxx＝ty＋m，消去x得，由根與系數間的關系，得y1·y2＝－2pm； 　　(2)解：三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數列，下證之： 　　設點N(－m，n)，則直線－AN的斜率為kAN＝；直線BN的斜率為kBN＝， 　　∴kAN＋kBN＝ 　　＝2p· 　　＝2p· 　　＝2p·＝2p·， 　　又∵直線MN的斜率為 　　kMN＝，∴kAN＋kBN＝2kMN，即直線AN，MN，BN的斜率成等差數列．