Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}為首項為1，公差為1的等差數列
（1）求a₁及a_n，b_n．
（2）記c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n是S_n與2的等差中項，
∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又∵S_n-S_n-1=a_n，n≥2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴=2（n≥2），即數列{a_n}是等比數列，
∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ．
∵數列{b_n}為首項為1，公差為1的等差數列，
∴b_n=1+（n-1）=n．
（2）∵，b_n=n，
∴c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ．
∴數列{c_n}的前n項和：
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．
分析：（1）先利用a_n是S_n與2的等差中項把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，可得S_n-1=2a_n-1-2，兩式作差即可求數列{a_n}的相鄰兩項之間的關系，找到規律即可求出a_n；對于數列{b_n}，直接利用等差數列通項公式即可求出b_n．
（2）先把所求結論代入求出數列{c_n}的通項，再利用數列求和的錯位相減法即可求出其各項的和．
點評：本題考查數列通項公式的求法，考查數列前n項和的求法，要熟練掌握數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．