Question

(2007北京東城模擬)如下圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點，F是AD的中點．

(1)求異面直線PD與AE所成角的大小；

(2)求證：EF⊥平面PBC；

(3)求二面角F—PC—B的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：連接BD，∵PD⊥平面ABCD， ∴平面PDB⊥平面ABCD． 過點E作EO⊥BD于O，連接AO． 則EO∥PD，且EO⊥平面ABCD． ∴∠AEO為異面直線PD，AE所成的角 ∵E是PB的中點，則O是BD的中點， 且． 在Rt△EOA中，， ∴． 即異面直線PD與AE所成角的大小為． (2)連接FO．∵F是AD的中點， ∴OF⊥AD．∵EO⊥平面ABCD， 由三垂線定理，得EF⊥AD． 又∵AD∥BC，∴EF⊥BC．連接FB． 可求得．則EF⊥PB． 又∵PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC (3)取PC的中點G，連接EG，FG． 則EG是FG在平面PBC內的射影． ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC． 又DC⊥BC，且PD∩DC=D， ∴BC⊥平面PDC．∴BC⊥PC． ∵EG∥BC，則EG⊥PC．∴FG⊥PC． ∴∠FGE是二面角F－PC－B的平面角． 在Rt△FEG中，，， ∴． ∴二面角F－PC－B的大小為．