Question

【題目】在平面直角坐標系中，點在橢圓：上.若點，，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設橢圓的焦距為4，，是橢圓上不同的兩點，線段的垂直平分線為直線，且直線不與軸重合.

①若點，直線過點，求直線的方程；

② 若直線過點，且與軸的交點為，求點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①.或.②..

【解析】

（1）由題意結合向量的坐標運算法則可得.則橢圓的離心率.

（2）①由題意可得橢圓的方程為，設，計算可得中點為，因為直線過點，據此有.聯立方程可得斜率為1或，直線的方程為或.

②設：，則直線的方程為：，所以.聯立直線方程與橢圓方程可得.結合直線過點和得到關于m的不等式，求解不等式可得點橫坐標的取值范圍為.

（1）設，

則，.

因為，

所以，得，

代入橢圓方程得.

因為，所以.

（2）①因為，所以，，

所以橢圓的方程為，

設，則.

因為點，所以中點為，

因為直線過點，直線不與軸重合，

所以，所以，化簡得.

將代入化簡得，

解得（舍去），或.

將代入得，

所以為，

所以斜率為1或，直線的斜率為-1或，

所以直線的方程為或.

②設：，則直線的方程為：

，所以.

將直線的方程代入橢圓的方程，消去得.

設，，中點為，

，代入直線的方程得，

代入直線的方程得.

又因為，

化得.

將代入上式得，解得，

所以，且，

所以.

綜上所述，點橫坐標的取值范圍為.