Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，已知x≥0時，f（x）=x（2-x）．
（1）畫出偶函數f（x）的圖象；
（2）根據圖象，寫出f（x）的單調遞減區間和單調遞增區間；同時寫出函數的值域；
（3）求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的對稱性即可畫出偶函數f（x）的圖象；
（2）根據圖象，即可得到f（x）的單調遞減區間和單調遞增區間；同時寫出函數的值域；
（3）根據函數的奇偶性的性質求函數f（x）的解析式．

解答：解：（1）偶函數f（x）的圖象如右圖所示：
    
（2）由圖得函數f（x）的單調遞減區間是（-1，0），（1，+∞）．
f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1），（0，1）．
值域為{y|y≤1}．
（注意：將兩個區間“并”起來，沒分；-1，0，1處寫為“閉”的形式，不扣分）
（3）設x＜0，則-x＞0，f（-x）=-x（2+x），
∵f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x（2+x），
∴函數f（x）的解析式為f（x）=

-x(2+x)，   x＜0 x(2-x)，     x≥0

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，利用偶函數的對稱性是解決本題的關鍵，綜合考查函數性質的綜合應用．