Question

橢圓C1:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,點P是雙曲線C2:-=1在第一象限內的圖象上一點,直線AP,BP與橢圓C1分別交于C,D點,若S△ACD=S△PCD.

(1)求P點的坐標.

(2)能否使直線CD過橢圓C1的右焦點,若能,求出此時雙曲線C2的離心率;若不能,請說明理由.

 

Answer 1

(1) P(2a,b) (2) 能， e'=，理由見解析

【解析】(1)設P(x,y)在雙曲線上,則有b2x2-a2y2=a2b2　①,

∵A(-a,0),B(a,0),

∴PA的中點為C(,),

點C在橢圓上,代入橢圓方程,化簡得

b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2　②

①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,

∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.

∵P在雙曲線右支上,∴x+a≠0,則x=2a.

代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,

∴y>0,y=b,得P(2a,b).

(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).

代入橢圓方程:

b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,

∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.

2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.

∵x<a,∴x=,

從而y=(-)=-b,

得D(,-b).同理可得C(,b).

C,D橫坐標相同,知CD⊥x軸.

如CD過橢圓右焦點F2(c,0),∴c=,即a=2c,

從而b2=a2-c2=a2.設雙曲線半焦距為c',

則c'2=a2+b2=a2,∴e'=.

于是直線CD可通過橢圓C1的右焦點,此時雙曲線C2的離心率為e'=.