Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形， 平面， ， 分別是的中點．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若為上的動點， 與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由條件，可證菱形中， ，再由線面垂直可得線線垂直得出，進一步得出平面，再由線面垂直的性質，可證線線垂直　（Ⅱ）由所給條件，建立以為坐標原點空間直角坐標系，寫出空間各點坐標，求出二面角的二面的法向量，由法向量的夾角與二面角之間的關系求出其余弦值．

試題解析：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形， ，可得為正三角形．

因為為的中點，所以．

又，因此．

因為平面， 平面，所以．

而平面， 平面且，

所以平面．又平面，所以．

（Ⅱ）解：設， 為上任意一點，連接．

由（Ⅰ）知平面， 為與平面所成的角．

在中， ，所以當最短時， 最大，

即當時， 最大．此時，

因此．又，所以，所以．

方法1：因為平面， 平面，

所以平面平面．過作于，由面面垂直的性質定理，

則平面，過作于，連，則，此時平面，

顯然，則為二面角的平面角，

在中，∵，∴， ，

在中，∵，又是的中點，∴，

因此在中， ，又，

在中， ，即所求二面角的余弦值為．

方法2：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

又分別為的中點，所以， ，所以．

設平面的一法向量為，則 因此

取，則，因為， ， ，所以平面，

故為平面的一法向量．又，所以．因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．