Question

【題目】心理學家分析發現視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如右表：（單位：人）

	幾何題	代數題	總計
男同學	22	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2= ．
（1）能否據此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？
（2）經過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6～8分鐘，現甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（3）現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數為 X，求 X的分布列及數學期望 EX．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表中數據得K2的觀測值 ，

所以根據統計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關

（2）解：設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區域為 （如圖所示）

設事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區域為x＞y，

∴由幾何概型 即乙比甲先解答完的概率為

（3）解：由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有 種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有 種；恰有一人被抽到有 種；兩人都被抽到有 種，

∴X可能取值為0，1，2， ， ，

X的分布列為：

X	0	1	2
P

∴

【解析】（1）根據所給的列聯表得到求觀測值所用的數據，把數據代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進行比較，得到所求的值所處的位置，得到結論；（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）確定X的可能值有0，1，2．依次求出相應的概率求分布列，再求期望即可．