Question

(1)設l₁、l₂是兩條異面直線，其公垂線段AB上的單位向量為n,又C、D分別是l₁、l₂上任意一點，求證：;

(2)已知正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為a,求體對角線BD₁與面對角線B₁C的距離.

Answer 1

(1)證明：∵,所以.由于CA⊥AB，BD⊥AB,∴,.因此.?

 (2)解：先找一個向量n,它既與BD₁垂直，又與B₁C垂直.設,其中λ、μ為待定的數.

由=-a²-λa²+μa²=-a²(1+λ-μ)=0,∴1+λ-μ=0.

又由

=-a²-μa²=0,∴1+μ=0.

于是解得μ=-1,λ=-2,∴,

.

又BC是聯結這兩條異面直線BD₁與B₁C上的任意點的線段，由第(1)題知所求距離為

.

啟示：(1)在以上推導中，我們已暗中假定了n的方向是由l₁上的點A指向l₂上的點B，而的方向也是由l₁上的點C指向l₂上的點D，這樣求得是正值.如果n指向與指向不同，則是負值，所以一般地就寫成.又如果n不是單位向量，則.

(2)、、有著基底的作用，我們將BD₁與B₁C的公垂線段向量n用這組基底來表示.因為相差一個常數因子不影響其公垂性，所以設定了，使其只含有兩個待定常數，這樣就方便多了.