Question

已知函數，其中e為自然對數的底數，且當x>0時恒成立．
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）求實數a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ） 減區間是,增區間是；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）確定定義域，求，由 求得增區間，由 求得減區間；（Ⅱ）利用在區間上，恒成立，則求解；（Ⅲ）利用構造法，構造新函數求解.
試題解析：(Ⅰ),,，
的減區間是,增區間是.                       (2分)
(Ⅱ)恒成立,即,
,恒成立.                              (3分)
設,,
由于在上是增函數,且,
時,是減函數,時,是增函數,
,從而若恒成立,必有.   (5分)
又,的取值集合為.                               (6分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即,當且僅當時等號成立,
時,有.      
,                       (9分)
設,
則,
當時,是減函數,
當時,是增函數,
,即成立.                    (12分)