Question

如圖,

在平面直角坐標系中,方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直,且AC和BD分別在x軸和y軸上.
(1)求證:F<0.
(2)若四邊形ABCD的面積為8,對角線AC的長為2,且·=0,求D²+E²-4F的值.
(3)設四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點O,G,H是否共線,并說明理由.

Answer 1

(1)見解析   (2)64  (3) O,G,H三點必定共線，理由見解析

(1)方法一:由題意,原點O必定在圓M內,即點(0,0)代入方程x²+y²+Dx+Ey+F=0的左邊所得的值小于0,于是有F<0,即證.
方法二:由題意,不難發現A,C兩點分別在x軸正、負半軸上.設兩點坐標分別為A(a,0),C(c,0),則有ac<0.對于圓的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,當y=0時,可得x²+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標,于是有x_Ax_C=ac=F.
因為ac<0,故F<0.
(2)不難發現,對角線互相垂直的四邊形ABCD的面積S=,因為S=8,|AC|=2,可得|BD|=8.
又因為·=0,所以∠BAD為直角,又因為四邊形是圓M的內接四邊形,故|BD|=2r=8⇒r=4.
對于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0所表示的圓,
可知+-F=r²,所以D²+E²-4F=4r²=64.
(3)設四邊形四個頂點的坐標分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
則可得點G的坐標為(,),即=(,).
又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G,O,H三點共線,只需證·=0即可.
而·=,且對于圓M的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,
當y=0時可得x²+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標,
于是有x_Ax_C=ac=F.
同理,當x=0時,可得y²+Ey+F=0,其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標,于是有y_By_D=bd=F.
所以·==0,即AB⊥OG.
故O,G,H三點必定共線.