Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且.

（1）若，求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在[-1,4]上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）由，可得的值，從而可得函數(shù)的表達(dá)式；

（2），函數(shù)的對(duì)稱軸為，根據(jù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，可得或，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）的對(duì)稱軸為，分類討倫，確定函數(shù)圖象開口向上，函數(shù)在上的單調(diào)性，利用最大值是，建立方程，即可求得結(jié)論.

試題解析：（1）由得，∴，

∴.

由（1）得，該函數(shù)對(duì)稱軸為，

若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)滿足或，解得或，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是或.

（3）函數(shù)的對(duì)稱軸為，

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸，此時(shí)在上最大值為，∴，∴，不合題意，舍去.

②當(dāng)，函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸.

（1）若，即時(shí)，函數(shù)在的最大值為，

化簡(jiǎn)得，解得或，符合題意.

（2）若即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，最大值為，∴，不合題意，舍去.

綜上所述存在或滿足函數(shù)在上的最大值是4.