Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²=1與x軸正半軸的交點為F，AB為該圓的一條弦，直線AB的方程為x=m．記以AB為直徑的圓為⊙C，記以點F為右焦點、短半軸長為b（b＞0，b為常數）的橢圓為D．
（1）求⊙C和橢圓D的標準方程；
（2）當b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關于x軸的對稱點為N，設直線QN交x軸于點L，試判斷是否為定值？并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）圓心C（m，0），（﹣1＜m＜1），
則⊙C的半徑為：r=，
從而⊙C的方程為（x﹣m）²+y²=1﹣m²，
橢圓D的標準方程為：．
（2）當b=1時，橢圓D的方程為，
設橢圓D上任意一點S（x₁，y₁），
則，，
∵==≥1﹣m²=r²，
所以SC≥r．從而橢圓D上的任意一點都不存在⊙C的內部．
（3）=b²+1為定值．
證明：設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由題意，得N（x₁，﹣y₁），x₁≠x₂，y₁≠±y₂，
從而直線PQ的方程為（y₂﹣y₁）x﹣（x₂﹣x₁）y+x₂y₁﹣x₁y₂=0，
令y=0，得，
∵直線QN的方程為（y₂+y₁）x﹣（x₂﹣x₁）y﹣x₁y₂﹣x₂y₁=0，
令y=0，得．
∵點P，Q在橢圓D上，
∴，，
∴，，
∴x_M·x_L==
=b²+1．
∴=x_M·x_L=b²+1為定值．