Question

【題目】(2015·江蘇）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓(a>b>0)的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）過F的直線與橢圓交于A ， B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點P ， C ， 若PC=2AB ， 求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

y=x-1或y=-x+1.

【解析】（1）由題意，得且c+=3, 解得a=,c=1，則b=1，所以橢圓的標準方程為
(2)當AB⊥x軸時，AB=，又CP=3，不合題意.當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k(x-1), A(x1, y1),B(x2, y2), 將AB的方程代入橢圓方程，得（1+2k2)x2-4k2x+1(k2-1)=0, 將x1,2=, C的坐標為（， )， 且AB===. 若 k=0, 則直線AB 的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意。 從而k≠0，
故直線PC的方程為y+=-(x-),則 P點的坐標為（-2，), 從而PC=. 因為PC=2AB，所以=， 解得k=±1. 此時AB方程為y=x-1或y=-x+1.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：
才能正確解答此題．