Question

（本題滿分12分）

某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口北偏西且與該港口相距海里的處，并正以海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經過小時與輪船相遇。

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？XK]

(2)為保證小艇在分鐘內(含分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；[來(

(3)是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解法一：（I）設相遇時小艇的航行距離為S海里，則

故時，，

即，小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小

（Ⅱ）設小艇與輪船在B處相遇，

由題意可知，

化簡得：

由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2,

所以當=2時，

取得最小值，

即小艇航行速度的最小值為海里/小時。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，設，

于是。（*）

     小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程（*）應有兩個不等正根，即：

解得。

所以的取值范圍是。

解法二：

（Ⅰ）若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向。設小艇與輪船在C處相遇。

在中，，

。

又,

此時，輪船航行時間，。

即，小艇以海里/小時的速度行駛，相遇時小艇的航行距離最小。

（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一

 

【解析】略