Question

一個直三棱柱的直觀圖及三視圖如圖所示，（其中D為A₁B₁的中點）
（Ⅰ）求證：C₁D⊥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）當點F在棱BB₁上的什么位置時，有AB₁⊥平面C₁DF，請證明你的結(jié)論
（Ⅲ）對（2）中確定的點F，求三棱錐B₁-C₁DF的體積．

Answer 1

分析：Ⅰ．直三棱柱的直觀圖及三視圖如圖所示，證線面垂直，需證線線垂直，可根據(jù)三棱柱的面的關(guān)系來證明．
Ⅱ．證點F在棱BB₁上的什么位置時，有AB₁⊥平面C₁DF，根據(jù)圖形性質(zhì)找點，逆推一下即可．
Ⅲ．根據(jù)三視圖提供數(shù)據(jù)，找出高和底面，求出體積即可．

解答：證明：由三視圖知該多面體為底面為直角三角形的
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠A1C1B1=

π

2

，
棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA1=

2

，
A₁C₁=B₁C₁=1，A1B1=

2

Ⅰ．∵D為A₁B₁的中點，∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，AA₁∩A₁B₁=A₁，∴C₁D⊥平面ABB₁A₁
Ⅱ．當點F在棱BB₁上的中點時，有AB₁⊥平面C₁DF
證明：連接DF，A₁B，∴DF||A₁B，∵AA1=A1B1=

2

，
∴四邊形ABB₁A₁為正方形，∴AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥DF，
由Ⅰ知C₁D⊥A₁B，DF∩C₁D=D∴AB₁⊥平面C₁DF
Ⅲ．設(shè)AB₁∩DF=G，B₁G為三棱錐B₁-C₁DF的高，
B1G=

1

2

，（12分）
可求得S△C1DF=

2

4

，體積V=

2

24

點評：本題考查學(xué)生三視圖定數(shù)據(jù)，考查空間想象能力，以及空間線面關(guān)系的證明與運用，是中檔題．