Question

（本小題滿分13分）如圖，正三棱柱中，D是BC的中點，

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）根據三棱柱中BB₁⊥平面ABC，結合AD⊥BD，根據三垂線定理得，AD⊥B₁D，得到證明。
（2）要證明線面平行，關鍵是對于DE∥A₁C.的證明。
（3）

試題分析：（Ⅰ）證明：∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，∴BD是B₁D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中點，∴AD⊥BD，根據三垂線定理得，AD⊥B₁D
（Ⅱ）解：連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.∵AA₁=AB ∴四邊形A₁ABB₁是正方形，∴E是A₁B的中點，又D是BC的中點，∴DE∥A₁C. ………………………… 7分∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………9分 
（Ⅲ）  ……13分
點評：解決該試題的關鍵是能利用線面平行的判定定理，以及面面垂直的性質定理來證明線線垂直，同時結合體積公式計算，屬于基礎題。