Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，過拋物線C上一點H（x₀，y₀）作兩條直線與⊙M相切于A、B兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點M到拋物線準線的距離為

17

4

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率．

Answer 1

（1）∵點M（4，0）到拋物線準線的距離為4+

p

2

=

17

4

，
∴p=

1

2

，即拋物線C的方程為y²=x．
（2）∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∴

yH-y1

xH-x1

=-

yH-y2

xH-x2

，
∴

yH-y1

y 2H - y 21

=-

yH-y2

y 2H - y 22

，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．
kEF=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 22 - y 21

=

1

y1+y2

=-

1

4

．