Question

假設實數a₁，a₂，a₃，a₄是一個等差數列﹐且滿足0＜a₁＜2及a₃=4，若定義函數fn(x)=anx，其中n=1，2，3，4，則下列命題中錯誤的是（　　）

A．f₂（a₂）＞4

B．f₁（a₂）＞1

C．函數f₂（x）為遞增函數

D．?x∈（0，+∞），不等式f₁（x）＜f₂（x）＜f₃（x）＜f₄（x）恒成立．

Answer 1

分析：根據等差數列的性質，可得2＜a₂＜3，進而根據指數函數的圖象和性質及冪函數的圖象和性質，結合復合函數同增異減的原則，可判斷出四個答案的真假．

解答：解：∵a₁，a₂，a₃，a₄是一個等差數列﹐且滿足0＜a₁＜2及a₃=4，
∴2＜a₂＜3，則f₂（a₂）=a₂^a₂∈（4，27），故f₂（a₂）＞4正確；
當0＜a₁＜1時，f₁（a₂）=a₁^a₂＜1，故f₁（a₂）＞1不正確；
函數f₂（x）=a₂^a_X，底數大于1，且指數部分為增函數，根據復合函數同增異減的原則，可得函數f₂（x）為遞增函數
當x∈（0，+∞）時，冪函數f(n)(x)=anx（n為自變量）為增函數，故f₁（x）＜f₂（x）＜f₃（x）＜f₄（x）
故選B

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了指數函數，冪函數及復合函數的性質，但由于未給出函數的解析式，比較抽象，故難度稍大．