Question

【題目】給出下列命題：

①，不等式恒成立；

②若，則；

③“若且，則”的逆否命題；

④若命題，命題，則命題是真命題．

其中，真命題為（ ）

A.①③④B.①②C.①②③D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

對(duì)于①中不等式可表示為得結(jié)論；對(duì)于②根據(jù)基本不等式的適用條件，結(jié)合與互為倒數(shù)，是同號(hào)的兩個(gè)數(shù)，可得，可得結(jié)論；對(duì)于③根據(jù)逆否命題與原命題同真同假，直接判斷原命題的真假即可，然后利用不等式的基本性質(zhì)，可以證出原命題為真命題；對(duì)于④可以分別證出命題和命題都是真命題，從而得到題是假命題.

對(duì)于①，不等式整理，得原不等式等價(jià)于，

∵

∴原不等式恒成立，故①正確；

對(duì)于②，因?yàn)?/span>，兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，

所以與同號(hào)，當(dāng)時(shí)，

可得與都為正數(shù)，

根據(jù)基本不等式，有，

此時(shí)有且，

∴，故②正確；

對(duì)于③，命題“若且，則”的逆否命題與原命題同真同假，

因此判斷原命題的真假性即可，

若，兩邊都除以，得…()，

又因?yàn)?/span>，將()兩邊都乘以，得，

所以原命題是真命題，故③是真命題，正確；

對(duì)于④，∵對(duì)任意的均成立，

∴命題”是真命題，

∵存在，使得，

∴命題是真命題，

∴命題是假命題，

∵命題“”當(dāng)中有一個(gè)真命題，另一個(gè)是假命題

∴“”是假命題，故④不正確，

綜上所述，真命題有三個(gè)：①②③，

故選：C.