Question

（2013•海口二模）2013年，首都北京經歷了59年來霧霾天氣最多的一個月．經氣象局統計，北京市從1月1日至1月30日這30天里有26天出現霧霾天氣．《環境空氣質量指數（AQI）技術規定（試行）》將空氣質量指數分為六級：其中，中度污染（四級），指數為151-200；重度污染（五級），指數為201-300；嚴重污染（六級），指數大于300． 下面表1是該觀測點記錄的4天里，AQI指數M與當天的空氣水平可見度y（千米）的情況，表2是某氣象觀測點記錄的北京1月1日到1月30日AQI指數頻數統計結果，
表1：AQI指數M與當天的空氣水平可見度y（千米）情況

AQI指數	900	700	300	100
空氣可見度 （千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表2：北京1月1日到1月30日AQI指數頻數統計

AQI指數	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
頻數	3	6	12	6	3

（Ⅰ）設變量x=

M

100

，根據表1的數據，求出y關于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）根據表2估計這30天AQI指數的平均值．
（用最小二乘法求線性回歸方程系數公式b=

n i-1 xiyi-n . xy

n i-1 x 2 i -n -2 x

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，由數據可求得b和a的值，可得回歸方程；
（Ⅱ）分別可得各段的頻率，由平均數的定義可得．

解答：解：（Ⅰ）由x=

M

100

結合圖表，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，
∴

.

x

=

1

4

（900+700+300+100）=5，

.

y

=

1

4

（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，
∴

4

i=1

xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，

4

i=1

xi2=9²+7²+3²+1²=140，
∴b=

58-4×5×5

140-4×52

=-

21

20

，a=5-5（-

21

20

）=

41

4

∴y關于x的線性回歸方程是y=-

21

20

x+

41

4

（Ⅱ）由表2知AQI指數的頻率分別為

3

30

=0.1，

6

30

=0.2，

12

30

=0.4，

6

30

=0.2，

3

30

=0.1，
故這30天AQI指數的平均值為：100×0.1+300×0.2+500×0.4+700×0.2+900×0.1=500

點評：本題考查線性回歸方程和平均數的定義，計算能力是解決問題的關鍵，屬中檔題．