Question

如圖所示，已知拋物線方程為y²＝4x，其焦點為F，準線為l，A點為拋物線上異于頂點的一個動點，射線HAE垂直于準線l，垂足為H，C點在x軸正半軸上，且四邊形AHFC是平行四邊形，線段AF和AC的延長線分別交拋物線于點B和點D.

(1)證明：∠BAD＝∠EAD；
(2)求△ABD面積的最小值，并寫出此時A點的坐標．

Answer 1

（1）見解析（2）16 ，(1，±2)

(1)證明：由拋物線定義得|AH|＝|AF|，∴∠AHF＝∠AFH.
又∵四邊形AHFC是平行四邊形，∴HF∥AC，∴∠AHF＝∠EAD，∠AFH＝∠BAD.
綜上可得∠BAD＝∠EAD.
(2)易知焦點F(1，0)，準線l方程為x＝－1，設A點坐標為 (a≠0)，
則直線AB方程為4ax－(a²－4)y－4a＝0(包括AB⊥x軸的情況)，
結合y²＝4x得4a²x²－(a⁴＋16)x＋4a²＝0，
根據拋物線定義，可知|AB|＝x_A＋x_B＋2＝＋2＝＋＋2≥4(當且僅當a＝±2時等號成立)．
另外，結合k_AD＝k_HF＝－，可得直線AD方程為y＝－x＋＋a，
結合y²＝4x得ay²＋8y－a³－8a＝0，由于y_D＋y_A＝－，
∴y_D＝－－a.又∵∠BAD＝∠EAD，
∴D點到直線AB的距離即為D點到直線AE的距離，即d＝|y_D－y_A|＝≥8(當且僅當a＝±2時等號成立)．
∴S_△ABD＝·|AB|·d≥×4×8＝16(當且僅當a＝±2時取“＝”號)．
此時A點坐標為(1，±2)．