Question

【題目】已知函數，曲線在原點處的切線為.

（1）證明：曲線與軸正半軸有交點；

（2）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線，求證：曲線上的點都不在直線的上方；

（3）若關于的方程（為正實數）有不等實根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】分析：（1）求得，由，解得，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理可得結果；（2）曲線在點處的切線，令，可證明對任意實數都有，即對任意實數都有，從而可得結論；（3）因為，所以為減函數，設方程的根為，由（2）可知，所以，利用導數研究函數的單調性，構造函數，可得，從而可得結論.

詳解：（1）求得，由已知得：，解得，

即，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以，存在，

使得，即曲線與軸正半軸有交點；

（2）曲線在點處的切線，令，則，又，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以對任意實數都有，即對任意實數都有，

故曲線上的點都不在直線的上方；

（3）因為，所以為減函數，設方程的根為，由（2）可知，

所以，

記，則，當時，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，對任意的實數，都有，即，

設方程的根，則，所以，

于是，令，又，則，所以在上為增函數，又，所以，，所以.