Question

（本題滿分14分）設函數，

(1)求的單調區間

(2)若為整數，且當時，，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）若，在（-∞，+∞）上單調遞增；若，在單調遞減，在上單調遞增；（2）

【解析】

試題分析：（1）函數的定義域是，

若，則，所以函數在（-∞，+∞）上單調遞增．

若，則當時，；

當時，；所以，在單調遞減，在上單調遞增．                                                            ……6分

（II）由于，所以，，

故當時，等價于      ①

令，則

由（I）知，函數在上單調遞增，而，

所以在上存在唯一的零點，

故在上存在唯一的零點，

設此零點為，則有，

當時，；當時，；所以在上的最小值為．又由，可得，所以，

由于①式等價于，故整數的最大值為.                          ……14分

考點：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、構造新函數求解恒成立問題，考查學生構造函數的能力和分類討論思想的應用以及運算求解能力.

點評：函數的單調性、極值、最值問題一般都要借助于導數這個工具，而恒成立問題一般轉化為求最值問題解決.