Question

判斷下列函數的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|-|x-1|；
（2）f（x）=（x-1）•

1+x 1-x

；
（3）f（x）=

1-x2

|x+2|-2

；
（4）f（x）=

x(1-x) (x＜0) x(1+x) (x＞0).

Answer 1

分析：（1）函數的定義域是（-∞，+∞），關于原點對稱，f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數．
（2）其定義域不對稱于原點，既不是奇函數也不是偶函數．
（3）去掉絕對值符號，根據定義判斷，定義域為[-1，0）∪（0，1]，關于原點對稱，f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數．
（4）函數f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），當x＞0時，有-x＜0，f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數．

解答：解：（1）函數的定義域x∈（-∞，+∞），對稱于原點．
∵f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-（|x+1|-|x-1|）=-f（x），
∴f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函數．
（2）先確定函數的定義域．由

1+x

1-x

≥0，得-1≤x＜1，其定義域不對稱于原點，所以f（x）既不是奇函數也不是偶函數．
（3）去掉絕對值符號，根據定義判斷．
由

1-x2≥0 |x+2|-2≠0

得

-1≤x≤1 x≠0且x≠-4.

故f（x）的定義域為[-1，0）∪（0，1]，關于原點對稱，且有x+2＞0．從而有f（x）=

1-x2

x+2-2

=

1-x2

x

，這時有f（-x）=

1-(-x)2

-x

=-

1-x2

x

=-f（x），故f（x）為奇函數．
（4）∵函數f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），并且當x＞0時，有-x＜0，
∴f（-x）=（-x）[1-（-x）]=-x（1+x）=-f（x）（x＞0）．
當x＜0時，-x＞0，∴f（-x）=-x（1-x）=-f（x）（x＜0）．
故函數f（x）為奇函數．

點評：（1）分段函數的奇偶性應分段證明．
（2）判斷函數的奇偶性應先求定義域再化簡函數解析式．