Question

函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），當x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，則函數f（x）在[-1，4]上零點的個數為（　　）

Answer 1

分析：先利用導數法確定函數當x∈[0，2）時的零點的個數，再利用函數為以2為周期的周期函數，即可得出結論．

解答：解：函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），所以函數為以2為周期的周期函數
當x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，f′（x）=12x²-12x=12x（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函數在[0，1）上單調減，在（1，2）上單調增
∵f（0）=1，f（1）=-1＜0，f（2）=32-24+1=9＞0
∴當x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，函數f（x）有兩個零點
∵函數為以2為周期的周期函數
∴當x∈[2，4）時，函數f（x）有兩個零點；x∈[-1，0）時，函數f（x）有一個零點
∴函數f（x）在[-1，4]上零點的個數為5
故選C．

點評：本題考查函數的零點，考查導數知識的運用，考查函數的周期性，解題的關鍵是確定當x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，函數f（x）有兩個零點．