Question

（2013•天津）如圖，△ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點A 做圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F．若AB=AC，AE=6，BD=5，則線段CF的長為

8

3

．

Answer 1

分析：利用切割線定理求出EB，證明四邊形AEBC是平行四邊形，通過三角形相似求出CF即可．

解答：解：如圖連結圓心O與A，因為過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E．所以OA⊥AE，
因為AB=AC，AE=6，BD=5，∴OA⊥BC，AE∥BC．
梯形ABCD中，AC∥BD，BD=5，
由切割線定理可知：AE²=EB•ED=EB（EB+BD），所以EB=4，
AC∥BD，則AC∥BE，ACBE是平行四邊形，∴EB=AC
可得四邊形AEBC是平行四邊形，所以AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，

AC

BD

=

CF

FB

即：

4

5

=

CF

6-CF

，
CF=

8

3

，
故答案為：

8

3

．

點評：本題考查圓的切割線定理，三角形相似，考查邏輯推理能力與計算能力．