Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線L：mx-y+1-m=0
（1）求證：對任意m∈R，直線L與圓C總有兩個不同的交點；
（2）設L與圓C交與A，B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）P（1，1）為弦AB上點，且

|AP|

|PB|

=

1

2

，求此時L的方程．

Answer 1

分析：（1）將直線l的方程變形提出m，根據直線方程的斜截式，求出直線恒過點（1，1），將（1，1）代入圓方程的左邊，判斷出點在圓內部，得證．
（2）將直線l的方程與圓的方程聯立，利用韋達定理得到兩個交點坐標的和，利用中點坐標公式求出AB的中點，消去m得到弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）作出輔助線，利用圓的弦割線定理求出PA的長，求出A的坐標，又直線過（1，0）點，利用直線方程的兩點式寫出直線的方程．

解答：解：（1）∵直線L：mx-y+1-m=0即為y=m（x-1）+1
∴直線l恒過（1，1）
∵1²+（1-1）²=1＜5
∴（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內部
綜上，對任意的m∈R，直線L與圓C一定有兩個不同的交點
（2）圓C：x²+（y-1）²=5  ①
直線l：mx-y+1-m=0②
聯立①②得
（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0
∴x1+x2=

2m2

1+m2

，y1+y2=

2(m2- m+1)

1+m2

設弦AB的中點M為（x，y）則有

x= m2 1+m2 y=  (m2- m+1) 1+m2

則y=1-

m

1+m2

，
∴

m

1+m2

=1-y，

m2

1+m2

=x兩式相除得，m=

x

1-y

代入第一式即消去m得到x²+y²-x-2y+1=0
故弦AB的中點M的軌跡方程為x²+y²-x-2y+1=0
（3）∵直線l：mx-y+1-m=0，y-1=m（x-1），
∴直線l過定點（1，1）．
作平行于x軸，且過圓心（0，1）的直線，交圓于MN兩點，
顯然，PM=

5

-1，PN=

5

+1，
由弦割線定理，

PM

PA

=

PB

PN

，即PA•PB=PA•2PA=2PA²=PM•PN=(

5

-1)•(

5

+1)=4
∴PA²=2．
∵PA²=（x-1）²+（y-1）²=2，
又因為A點在圓上，A點坐標滿足圓方程x²+（y-1）²=5，
聯立方程組，解得，
x=2，
代入解得，y=0或2，
∴A（2，0）或A（2，2）．
由兩點確定直線，得，
y-1=

0-1

2-1

•（x-1）=-（x-1），得y+x-2=0直線一條；
y-1=

2-1

2-1

•（x-1）=x-1，得，y=x另一條直線．
∴此時L的方程為y+x-2=0或y=x

點評：判斷直線與圓的位置關系，一般利用圓心與直線的距離與半徑的大小關系加以判斷，有時也可轉化為直線恒過的點圓圓的位置關系；解決直線與圓的相交的弦的中點問題，一般將直線與圓的方程聯立，利用韋達定理．