Question

【題目】已知函數f（x）= ，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有兩個不同實根，則實數k的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（ ，1）∪（1，e﹣1]
【解析】解：∵g（x）=kx+1，
∴方程f（x）﹣g（x）=0有兩個不同實根等價為方程f（x）=g（x）有兩個不同實根，
即f（x）=kx+1，
則等價為函數f（x）與函數y=kx+1有兩個不同的交點，
當1＜x≤2，則0＜x﹣1≤1，則f（x）=f（x﹣1）=ex﹣1 ，
當2＜x≤3，則1＜x﹣1≤2，則f（x）=f（x﹣1）=ex﹣2 ，
當3＜x≤4，則2＜x﹣1≤3，則f（x）=f（x﹣1）=ex﹣3 ，
…
當x＞1時，f（x）=f（x﹣1），周期性變化；
函數y=kx+1的圖象恒過點（0，1）；
作函數f（x）與函數y=kx+1的圖象如下，
C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故kAC=e﹣1，kBC= ；
在點C處的切線的斜率k=e0=1；
結合圖象可得，
實數k的取值范圍為（ ，1）∪（1，e﹣1]；
所以答案是：（ ，1）∪（1，e﹣1]

【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的零點與方程根的關系(二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點)．