Question

設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設是曲線C上的點，且成等差數列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標。

Answer 1

解：（1）設，則由得P為MN的中點，
所以…………1分
又    ，…………3分
…………5分
（2）由（1）知為曲線C的焦點，由拋物線定義知拋物線上任一點到F的距離等于其到準線的距離，即…………6分
故  ，又成等差數列
得…………7分
直線的斜率…………9分
的中垂線方程為…………10分
又的中點在直線上，代入上式，得…11分
故所求點B的坐標為

本試題主要是對于圓錐曲線的綜合考查。首先求解軌跡方程，利用向量作為工具表示向量的坐標，進而達到關系式的求解。第二問中利用數列的知識和直線方程求解點的坐標。