Question

如圖，已知圓外有一點，作圓的切線，為切點，過的中點，作割線，交圓于、兩點，連接并延長，交圓于點，連續交圓于點，若．

（1）求證：△∽△；
（2）求證：四邊形是平行四邊形．

Answer 1

（1）由切割線定理，及N是PM的中點，可得PN²=NA•NB，結合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，則∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的補角相等可得∠MAP=∠PAB，進而得到△APM∽△ABP
（2）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圓O的切線，可證得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形．

試題分析：證明：（Ⅰ）∵是圓的切線，是圓的割線，是的中點，證明：（Ⅰ）∵PM是圓O的切線，NAB是圓O的割線，N是PM的中點，∴MN²=PN²=NA•NB，又∵∠PNA=∠BNP，
∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，
∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）
（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，
∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，
∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圓O的切線，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四邊形PMCD是平行四邊形．…（10分）
點評：本題考查的知識點是切割線定理，圓周角定理，三角形相似的判定與性質，平行四邊形的判定，熟練掌握平面幾何的基本定理是解答本題的關鍵．