Question

設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AB

•

AD

=0，則△BCD是

 

三角形

Answer 1

分析：由題意知，AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，設 AB=a，AC=b，AD=c，由勾股定理可求BC、CD、BD的長度，△BCD中，有余弦定理得B，C，D三個角的余弦值都是正數，故B，C，D都是銳角．

解答：解：∵

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AB

•

AD

=0，
∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，
設 AB=a，AC=b，AD=c，則BC=

a2+b2

，CD=

b2+c2

，BD=

c2+a2

，
△BCD中，有余弦定理得cosB=

a2

a2+b2 • a2+c2

＞0，
同理可證，cosC＞0，cosD＞0，
∴B，C，D都是銳角，
∴△BCD是銳角三角形，
故答案為 銳角．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，三角形中的勾股定理和余弦定理的應用．