Question

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-4bx+1．
（1）設集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（2）設點（a，b）是區域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內的隨機點，記A={y=f（x）有兩個零點，其中一個大于1，另一個小于1}，求事件A發生的概率．

Answer 1

分析：（1）確定基本事件總數，求出函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數對應的事件數，利用古典概型概率的計算公式，即可得到結論；
（2）以面積為測度，計算試驗的全部結果所構成的區域的面積及事件A構成的區域的面積，利用公式可得結論．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，當且僅當a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a…（2分）
若a=1則b=-1，若a=2則b=-1，1若a=3則b=-1，1…（4分）
記B={函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數}，則事件B包含基本事件的個數是1+2+2=5，
∴P(B)=

5

15

=

1

3

…（6分）
（2）依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為Ω={(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}，
其面積SΩ=

1

2

×8×8=32…（8分）
事件A構成的區域：A={(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0 f(1)＜0

}={(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0 a-4b+1＜0

}
由

a+b-8=0 a-4b+1=0

，得交點坐標為(

31

5

，

9

5

)，…（10分）
∴SA=

1

2

×(8-

1

4

)×

31

5

=

961

40

，
∴事件A發生的概率為P(A)=

SA

SΩ

=

961

1280

…（12分）

點評：本題考查概率的計算，明確概率的類型，正確運用公式是關鍵．