Question

已知函數的圖象與函數的圖象關于點A（0，1）對稱．

    （I）求的值；

    （II）若，且在區間上為減函數，求實數的取值范圍；

    （III）在條件（II）下，試證明函數與函數圖象的交點不可能落在軸的左側．

　　

Answer 1

（I） 

    （II）．  

    （III）證明見解析

解析:

（I）設P（）為函數圖象上任意一點，點P關于點A的對稱點為Q（），則有

    即  ．………………………………………………2分

    點Q在上，，

    ，即，．…………………    4分

    （II）。設任意，且，

    則，………………………    7分

    對一切恒成立．

    對一切恒成立，

    ．  …………………………………………………  9分

    （III）．………………………………     10分

    （證法一）假設兩曲線的交點在軸左側，即交點的橫坐標．…11分

    則且，，即．

    這與假設矛盾，故兩曲線的交點不可能在軸左側.…………………     14分

    （證法二）假設兩曲線的交點在軸的左側，即交點的橫坐標.

                                                                                                                             

    若，則，而，與假設矛盾；

    若，則，而，與假設矛盾．

    故曲線與曲線的交點不可能在軸左側.………………………   14分

    （若用其它方法，可依據該標準合理賦分）