Question

已知A（1，1）為橢圓=1內一點，F₁為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點 求｜PF₁｜+｜PA｜的最大值和最小值.

Answer 1

｜PF₁｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6–

由可知a=3,b=,c=2，左焦點F₁(–2,0),右焦點F₂(2,0) 由橢圓定義，｜PF₁｜=2a–｜PF₂｜=6–｜PF₂｜,
∴｜PF₁｜+｜PA｜=6–｜PF₂｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF₂｜
如圖:

由｜｜PA｜–｜PF₂｜｜≤｜AF₂｜=知
–≤｜PA｜–｜PF₂｜≤.
當P在AF₂延長線上的P₂處時，取右“=”號；
當P在AF₂的反向延長線的P₁處時，取左“=”號.
即｜PA｜–｜PF₂｜的最大、最小值分別為，–.
于是｜PF₁｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6–.