Question

已知函數f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是冪函數，且圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，求f^-1（x）并討論其單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由給出的函數是冪函數，則系數等于1，由系數等于1求出m的值，代入原函數后需保證函數為偶函數，否則舍掉；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函數的解析式，求出定義域后，再把x用含有y的代數式表示，則可求得函數的反函數，然后利用函數的單調性定義證明．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是冪函數，
則m²-3=1，解得：m=±2．
當m=2時，f（x）=x³，圖象不關于y軸對稱，舍去；
當m=-2時，f（x）=x²，滿足f（x）的圖象關于y軸對稱，
所以所求的函數解析式為f（x）=x²．
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，由y=x²，得y≥0．
又由y=x²，得：x=

y

，
∴f-1(x)=

x

(x≥0)．
函數f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數．
事實上，在[0，+∞）任取兩個實數x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則f-1(x1)-f-1(x2)=

x1

-

x2

= ( x1 - x2 )( x1 + x2 ) x1 + x2 = x1-x2 x1 + x2 ，

∵0≤x₁＜x₂，∴x1-x2＜0，

x1

+

x2

＞0．
∴f-1(x1)-f-1(x2)＜0．即f-1(x1)＜f-1(x2)．
故f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了冪函數的定義，需要注意的是，只有y=x^α型的函數才是冪函數，考查了函數的奇偶性，訓練了函數反函數的求法及利用定義證明函數單調性，此題是中檔題．