Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，面，，、分別為、的中點(diǎn).

（1）證明：直線平面；

（2）求異面直線與所成角的大小；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

(1) 取的中點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理完成證明；

(2)根據(jù)平行可知異面直線與所成的角即為或其補(bǔ)角，然后根據(jù)長(zhǎng)度進(jìn)行求解；

(3)根據(jù)線面平行將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為到平面的距離，然后作出在平面內(nèi)的射影，根據(jù)長(zhǎng)度即可計(jì)算出到平面的距離，即可求解出點(diǎn)到平面的距離.

（1）取的中點(diǎn)，連接、.則四邊形為平行四邊形，

∴，又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，

∴為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）

作于點(diǎn)，連接.

∵平面，∴，∵，∴.

∵，

∴，.

所以異面直線與所成的角為.

（3）∵平面，∴點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等.

連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴平面，∴，

又∵，∴平面，

線段的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離，與點(diǎn)到平面的距離相等

，，

.

所以點(diǎn)到平面的距離為.