Question

12．已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面對角線A₁C₁上的兩個不同的動點（包括端點A₁，C₁）．給出以下四個結論：
①存在P，Q兩點，使BP⊥DQ；
②存在P，Q兩點，使BP，DQ與直線B₁C都成45°的角；
③若PQ=1，則四面體BDPQ的體積一定是定值；
④若PQ=1，則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積之和為定值．
以上各結論中，正確結論的是①③④．

Answer 1

分析 令P與A₁點重合，Q與C₁點重合，可判斷①正確；
空間中任意直線與BP，DQ夾角相等時，夾角最小值為45°，可判斷②錯誤；
根據平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐（其中O為上底面中心），可判斷③正確；
根據四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積不變，可判斷④正確．

解答 解：當P與A₁點重合，Q與C₁點重合時，BP⊥DQ，①正確；
由①正確，可得空間中任意直線與BP，DQ夾角相等時，
夾角最小值為45°，②錯誤；
設平面A₁B₁C₁D₁兩條對角線交點為O，則易得PQ⊥平面OBD，平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐，故四面體BDPQ的體積一定是定值，③正確；
四面體BDPQ在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定值，
四面體BDPQ在四個側面上的投影，均為上底為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，
故四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，④正確；
綜上，正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了正方體的幾何特征，是空間異面直線關系，棱錐體積以及投影的綜合應用問題，是難題．