Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，1）．
（1）若橢圓的離心率為

2

2

，求橢圓的方程；
（2）若橢圓上兩動點P，Q，滿足OP⊥OQ．
①已知命題：“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題，試直接寫出圓C的方程；（不需要解答過程）
②設①中的圓C交y軸的負半軸于M點，二次函數y=x²-m的圖象過點M．點A，B在該圖象上，當A，O，B三點共線時，求△MAB的面積S的最小值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由e=

2

2

，得出a、b、c的關系，設出橢圓方程，把（1，1）代入方程，求出b²、a²即可；
（2）①由OP⊥OQ，且直線PQ恒與定圓C相切，得出圓C的方程為x²+y²=1；
②由題意知，二次函數y=x²-1，設直線AB的方程y=kx，由

y=x2-1 y=kx

，消去y，由根與系數的關系，求出x₁+x₂，x₁x₂；計算△MAB的面積S的最小值即可．

解答： 解：（1）由e=

2

2

，
則a：b：c=

2

：1：1；
∴可設橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，將（1，1）代入得

1

2b2

+

1

b2

=1，
∴b²=

3

2

，a²=3，
∴橢圓方程為

x2

3

+

2y2

3

=1；
（2）①根據題意，用特殊值來驗證，如圖所示；

∵橢圓過點（1，1），
∴

1

a2

+

1

b2

=1，
即a²+b²=a²b²；
又OP⊥OQ，
∴|PQ|=

a2+b2

；
∴點O到直線PQ的距離|OM|=

ab

a2+b2

=1；
∴根據橢圓的對稱性，得出圓C的方程是x²+y²=1；
②由題意，二次函數為y=x²-1，
設直線AB的方程為y=kx，
由

y=x2-1 y=kx

，消去y得，x²-kx-1=0；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
則S=

1

2

OM•|x₁-x₂|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

k2+4

；
當k=0時，△MAB的面積S的最小值為1．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的應用問題，解題時應根據題意，應用待定系數法求出圓錐曲線的方程，應用直線方程與圓錐曲線方程聯立，求直線被圓錐曲線所截得的弦長的問題，是較難的題目．