Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有 成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個(gè)上界.
已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；
（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）-1;（2）;（3）

解析試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2e/b/khaay.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，所以根據(jù)奇函數(shù)的定義可得一個(gè)等式.根據(jù)等式在定義域內(nèi)恒成立可求得的值，由于真數(shù)大于零，所以排除.即可得到結(jié)論.
（2）由（1）得到的值表示出函數(shù)g(x),根據(jù)函數(shù)的定義域可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以上，.即.所以可得.即存在常數(shù)，都有.所以所有上界構(gòu)成的集合.
（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，所以根據(jù)題意可得在上恒成立.所得的不等式，再通過分離變量求得的范圍.
試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，即，
即，得，而當(dāng)時(shí)不合題意，故.        4分
（2）由（1）得：，
下面證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
證明略.                                           6分
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/f/a2czp3.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為.  8分
（3）由題意知，在上恒成立.
，.
在上恒成立.
                     10分
設(shè)，，，由得,
設(shè)，，
,
所以在上遞減，在上遞增，                   12分
在上的最大值為，在上的最小值為 .
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.                                 &