Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D．

（1）求證：CE2=CDCB．
（2）若AB=2，BC= ，求CE與CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖示：

連接BE，

∵BC為⊙O的切線∴∠ABC=90°，

∵AB為⊙O的直徑∴∠AEB=90°，

∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO，

∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，

∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，

∴ = ，∴CE2=CDCB；

（2）解：∵OB=1，BC= ，∴OC= ，

∴CE=OC﹣OE= ，

由（Ⅰ）得：CE2=CDCB，

∴ = CD，

∴CD= ．

【解析】（1）要證CE2=CDCB，結合題意，只需證明△CED∽△CBE即可，故連接BE，利用弦切角的知識即可得證；（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的長，由（1）知，CE2=CDCB，代入CE即可得出CD的長．