Question

（2012•宜賓一模）有一個半徑為1的小球在一個內壁棱長均為4

3

的直三棱柱封閉容器內可以向各個方向自由運動，則該小球不可能接觸到的容器內壁的面積是

72+18

3

．

Answer 1

分析：分別計算側面與底面上小球不可能接觸到的容器內壁的面積，即可得到結論．

解答：解：（1）側面：當小球運動到同時接觸到三棱柱容器的兩面內壁時，小球與該兩面內壁的接觸點相距這兩面內壁的棱必有一段距離，且這兩接觸點到棱的距離相等．從接觸點到棱作垂線，再連接球心與垂足點、球心與接觸點，這樣構成一個直角三角形．
接觸點到棱的距離：小球半徑×tan60°=1×

3

=

3

該段距離上的內壁的面積是：距離×棱長=

3

×4

3

=12
兩面內壁的面積是：12×2=24
直三棱柱有三條棱，總不可接觸到的面積是：24×3=72 （cm²） 
 （2）底面：球與底面相切的面積只是一個邊長為2

3

的正三角形，剩余的面積為9

3

×2=18

3

則該小球不可能接觸到的容器內壁的面積是72+18

3

故答案為：72+18

3

點評：本題考查面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是分側面與底面分別求解，屬于中檔題．