Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，Sn是數列{an}的前n項和，且4Sn=an2+2an﹣3．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）已知bn=2n ， 求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時， ，解出a1=3，

又4Sn=an2+2an﹣3①

當n≥2時4sn﹣1=an﹣12+2an﹣1﹣3②

①﹣②4an=an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），即an2﹣an﹣12﹣2（an+an﹣1）=0，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵an+an﹣1＞0∴an﹣an﹣1=2（n≥2），

∴數列{an}是以3為首項，2為公差的等差數列，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1

（2）解：Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n③

又2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1④

④﹣③Tn=﹣3×21﹣2（22+23++2n）+（2n+1）2n+1﹣6+8﹣22n﹣1+（2n+1）2n+1=（2n﹣1）2n+2

【解析】（1）由題意知 ，解得a1=3，由此能夠推出數列{an}是以3為首項，2為公差的等差數列，所以an=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）由題意知Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）2n ， 2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1 ， 二者相減可得到Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．