Question

【題目】已知二次函數(shù)對任意的都有，且．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設函數(shù)．

①若存在實數(shù)，，使得在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且取值范圍也為，求的取值范圍；

②若函數(shù)的零點都是函數(shù)的零點，求的所有零點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②見詳解.

【解析】

（1）先設二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題意列出系數(shù)對應的方程組，求解，即可得出結(jié)果；

（2）①由（1）可得:，對稱軸，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，得到或，分別研究和兩種情況，結(jié)合題中條件，以及二次函數(shù)性質(zhì)，即可得出結(jié)果；

②先設為的零點，由題意得到，即，求出或，分別研究和兩種情況，即可得出結(jié)果.

（1）設二次函數(shù)的解析式為，

則，

由得恒成立，又，

所以，所以，所以；

（2）①由（1）可得:，對稱軸，在區(qū)間上單調(diào)，

所以或，

當時，在區(qū)間上單調(diào)增，所以，即為的兩個根，所以只要有小于等于2兩個不相等的實根即可，

所以要滿足，得

當時，在區(qū)間上單調(diào)減，所以，即

兩式相減得，因為，所以，

所以，，得；

綜上，的取值范圍為

②設為的零點，則，即，得或，

當時，

所以所有零點為；

當時，

由得，

所以所有零點為。