Question

（本小題滿分14分）已知函數.
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；
（Ⅱ）若對于都有成立，試求的取值范圍；
（Ⅲ）記.當時，函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f(x)的單調增區間是單調減區間是
（Ⅱ）
（Ⅲ）

（I） 直線y=x+2的斜率為1.函數f(x)的定義域為，，所以，所以a=1．所以．.由解得x>2；由解得0<x<2.
所以f(x)的單調增區間是單調減區間是．  ……………………4分
（II），由解得；由解得0<x<2/a.
所以f(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減所以當時，函數f(x)取得最小值，.因為對于都有f(x)>2(a-1)成立，所以即可.則．由． 所以a的范圍是.8分
（III）依題得，則.由解得x>1；由解得0<x<1所以函數g(x0)在區間(0,1)為減函數，在區間為增函數．
又因為函數g(x)在區間[e^-1,e]上有兩個零點，所以
解得.所以b的取值范圍是．    …………12分